Wahrscheinlichkeitsproblem: Dornrößchen

[tzer]

Die Rechnung ist mir schon klar.
Dann würde also, falls sie bei Zahl nur an einem der beiden Tage geweckt werden würde, das gleiche raus kommen. Klingt nicht gerade einleuchtend.

 

[Deleted member 1964]

Die Rechnung ist mir schon klar.
Dann würde also, falls sie bei Zahl nur an einem der beiden Tage geweckt werden würde, das gleiche raus kommen. Klingt nicht gerade einleuchtend.

Wie meinst du das?
Die Regeln geben doch vor, dass sie an beiden Tagen befragt wird wenn Zahl fällt.
Wenn sie jetzt bei Zahl nur an einem Tag befragt werden würde wäre die Ausgangslage natürlich anders und natürlich muss die Rechnung dafür auch nicht mehr zutreffen.

 

[tzer]

Das Baumdiagramm von Hasenauge würde zu dieser Situation ebenso passen. Deshalb wäre es damit egal, ob sie einmal an einem beliebigen Tag oder zweimal bei Zahl aufgeweckt wird.

P(Zahl)=0,5
P(aufgeweckt am Montag)/Zahl=0,5

Es wäre deshalb gleichwahrscheinlich, dass sie Montags bei Zahl aufwacht, egal ob sie einmal oder zweimal aufwacht.

 

[Karon]

Die eigentliche Frage, die man sich hier stellen sollte, ist:

Was passiert wenn die Münze auf der Kante steht?

 

[Deleted member 1964]

Das Baumdiagramm von Hasenauge würde zu dieser Situation ebenso passen.

Nein

 

[Hasenauge]

Die Rechnung ist mir schon klar.
Dann würde also, falls sie bei Zahl nur an einem der beiden Tage geweckt werden würde, das gleiche raus kommen. Klingt nicht gerade einleuchtend.

Ja, das würde tatsächlich keinen Unterschied machen und das Ergebnis wäre genau dasselbe. Warum sollte sich die Wahrscheinlichkeit auch ändern? Die Anzahl der Möglichkeiten, wenn Zahl gefallen ist, ist ja in beiden Fällen gleich: entweder ist gerade Mo oder Di.

 

[tzer]

Nein

Doch!
50:50 ob Zahl oder Kopf
bei Zahl 50:50 ob Mo oder Di

Ja, das würde tatsächlich keinen Unterschied machen und das Ergebnis wäre genau dasselbe. Warum sollte sich die Wahrscheinlichkeit auch ändern? Die Anzahl der Möglichkeiten, wenn Zahl gefallen ist, ist ja in beiden Fällen gleich: entweder ist gerade Mo oder Di.

Wenn sie bei Zahl ein zusätzliches mal aufwacht, müsste das die Wahrscheinlichkeit eigentlich schon verändern. Ich bin mir nicht sicher, ob man hier mit diesen bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeiten darf.

Bin mittlerweile wieder eher bei der Begründung, dass sie ja bei 10 Durchgängen im Schnitt 15 mal aufwacht, davon 10 mal bei Zahl und 5 mal bei Münze.
Also wacht sie im Schnitt tatsächlich häufiger bei Zahl auf.

Kann man dann immernoch sagen, dass das Aufwachen bei Kopf genauso wahrscheinlich ist?
Wenn es so wäre und sie sagen wir 100 mal geweckt werden würde, wäre das Aufwachen bei Kopf ca. 50 mal der Fall, da gleich wahrscheinlich.

 

[Hasenauge]

Bin mittlerweile wieder eher bei der Begründung, dass sie ja bei 10 Durchgängen im Schnitt 15 mal aufwacht, davon 10 mal bei Zahl und 5 mal bei Münze.
Also wacht sie im Schnitt tatsächlich häufiger bei Zahl auf.

Ich meine das Problem inzwischen einigermaßen verstanden zu haben, bin aber noch nicht soweit das schlüssig zu formulieren. Deshalb nur mal die Eckpunkte als Gedankenanstoß:

- Beide Wahrscheinlichkeiten 1/2 bzw. 2/3 sind korrekt.
- Allerdings beziehen sie sich auf unterschiedliche Ereignisse, die sich zum Verwechseln ähnlich sehen.
- „Aufwachen wenn Zahl oben liegt“ ist ein anderes Ereignis als „vergangenen Sonntag ist Zahl gefallen“.

 

[Sierra]

Ich meine das Problem inzwischen einigermaßen verstanden zu haben, bin aber noch nicht soweit das schlüssig zu formulieren. Deshalb nur mal die Eckpunkte als Gedankenanstoß:

- Beide Wahrscheinlichkeiten 1/2 bzw. 2/3 sind korrekt.
- Allerdings beziehen sie sich auf unterschiedliche Ereignisse, die sich zum Verwechseln ähnlich sehen.
- „Aufwachen wenn Zahl oben liegt“ ist ein anderes Ereignis als „vergangenen Sonntag ist Zahl gefallen“.

Das schreibe ich von Anfang an

 

[Hasenauge]

Das schreibe ich von Anfang an

Naja, ganz am Anfang warst Du für 2/3, was mE aber die falsche Antwort auf die Frage ist, wie wahrscheinlich es ist, dass Zahl gefallen ist. Warum versuche ich gerade auszuformulieren, was aber aufgrund sprachlicher Mehrdeutigkeit gar nicht so einfach ist.

 

[Sierra]

Naja, ganz am Anfang warst Du für 2/3, was mE aber die falsche Antwort auf die Frage ist, wie wahrscheinlich es ist, dass Zahl gefallen ist. Warum versuche ich gerade auszuformulieren, was aber aufgrund sprachlicher Mehrdeutigkeit gar nicht so einfach ist.

Stimmt doch gar nicht...
Meine allererste Antwort im thread hier hat das Problem der Mehrdeutigkeit dargestellt

 

[Deleted member 1964]

Naja, ganz am Anfang warst Du für 2/3, was mE aber die falsche Antwort auf die Frage ist, wie wahrscheinlich es ist, dass Zahl gefallen ist. Warum versuche ich gerade auszuformulieren, was aber aufgrund sprachlicher Mehrdeutigkeit gar nicht so einfach ist.

Ich glaube das problem ist, dass die Begründung erst sinn ergibt wenn man weiß wie oft man geweckt worden ist. In tzers Erklärung sieht man ganz gut, dass er im letzten Beispiel die Anzahl, wie oft geweckt wird, vorgibt und es davor ebenfalls fest setzt (mit der legitimen Begründung, dass bei 10 Versuchen nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 mal bei Kopf und 10 mal bei Zahl geweckt wird).
Aber diese Info bleibt in dem Versuch immer eine Unbekannte.

 

[Hasenauge]

Stimmt doch gar nicht...
Meine allererste Antwort im thread hier hat das Problem der Mehrdeutigkeit dargestellt

Ja, das ist richtig, auf die Mehrdeutigkeit hattest Du hingewiesen. Aber bist Du immer noch der Ansicht, dass 2/3 richtig wäre, wenn nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird, dass am Sonntag Zahl geworfen wurde? Da ist mir Deine Position noch nicht ganz klar.

Ich glaube das problem ist, dass die Begründung erst sinn ergibt wenn man weiß wie oft man geweckt worden ist. In tzers Erklärung sieht man ganz gut, dass er im letzten Beispiel die Anzahl, wie oft geweckt wird, vorgibt und es davor ebenfalls fest setzt (mit der legitimen Begründung, dass bei 10 Versuchen nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 mal bei Kopf und 10 mal bei Zahl geweckt wird).
Aber diese Info bleibt in dem Versuch immer eine Unbekannte.

Hm, tzer legt die Anzahl der Erweckungen und Durchläufe aber gar nicht fest. Er sagt nur, dass von N Erweckungen erwartungsgemäß 2/3 Zahl-Erweckungen sind. Dabei spielt es keine Rolle ob die N Erweckungen in der Vergangenheit oder in der Zukunft liegen.

 

[Deleted member 1964]

Hm, tzer legt die Anzahl der Erweckungen und Durchläufe aber gar nicht fest. Er sagt nur, dass von N Erweckungen erwartungsgemäß 2/3 Zahl-Erweckungen sind. Dabei spielt es keine Rolle ob die N Erweckungen in der Vergangenheit oder in der Zukunft liegen.

Ja, das ist korrekt. Falsch ist es imo auch nicht, aber eine Frage der Perspektive. Auch bei der Überlegung geht man davon aus, dass die Erweckungen zumindest ein fester Wert N sind. Dabei ist N eine Folge aus den Münzwürfen. Wenn wir das Ganze aber aus Perspektive des Münzwurfs betrachten kommen wir wieder zur 50/50 Chance.
Eine Sache noch: Die Berechnung mit N kommt auch nicht immer hin. Wenn N = 1 wäre würden die 2/3 Zahl, 1/3 Kopf nicht stimmen.

 

[Hasenauge]

Ja, das ist korrekt. Falsch ist es imo auch nicht, aber eine Frage der Perspektive. Auch bei der Überlegung geht man davon aus, dass die Erweckungen zumindest ein fester Wert N sind. Dabei ist N eine Folge aus den Münzwürfen. Wenn wir das Ganze aber aus Perspektive des Münzwurfs betrachten kommen wir wieder zur 50/50 Chance.

Ja, die Perspektive spielt eine Rolle. Dazu werde ich noch mehr schreiben.

Eine Sache noch: Die Berechnung mit N kommt auch nicht immer hin. Wenn N = 1 wäre würden die 2/3 Zahl, 1/3 Kopf nicht stimmen.

Empirisch natürlich nicht, theoretisch aber schon: von N=1 Erweckungen wären 0,66666 Erweckungen Zahl-Erweckungen.

 

[Deleted member 1964]

Empirisch natürlich nicht, theoretisch aber schon: von N=1 Erweckungen wären 0,66666 Erweckungen Zahl-Erweckungen.

Hmm, was soll das jetzt genau heißen?
Die Formel spiegelt die Realität nicht wieder und ist damit nicht gültig.
Man kann das Experiment ja 100 mal wiederholen und bei jedem mal ist N=1. Daraus lässt sich schließen, dass der Experimentleider fudelt und die Münze manipuliert hat Es muss immer Kopf geworfen worden sein, daher ausschließlich Kopf Weckungen.

 

[Hasenauge]

Hmm, was soll das jetzt genau heißen?
Die Formel spiegelt die Realität nicht wieder und ist damit nicht gültig.
Man kann das Experiment ja 100 mal wiederholen und bei jedem mal ist N=1. Daraus lässt sich schließen, dass der Experimentleider fudelt und die Münze manipuliert hat Es muss immer Kopf geworfen worden sein, daher ausschließlich Kopf Weckungen.

Mit N war die Gesamtzahl aller Erweckungen über alle Experimente gemeint. Und die wäre bei 100 durchgeführten Experimenten erwartungsgemäß 150 verteilt auf 100 Zahl-Erweckungen und 50 Kopf-Erweckungen.

 

[Deleted member 1964]

Mit N war die Gesamtzahl aller Erweckungen über alle Experimente gemeint. Und die wäre bei 100 durchgeführten Experimenten erwartungsgemäß 150 verteilt auf 100 Zahl-Erweckungen und 50 Kopf-Erweckungen.

Das ist mir bewusst. Ich habe es bewusst provokant umgestellt um zu zeigen, dass sich die Realität damit nicht beschreiben lässt.
Damit ist widerlegt, dass Anzahl der Weckungen N sich aus 1/3 Kopf- und 2/3 Zahlweckungen zusammensetzt (im Durchschnitt).
Und vermutlich ist das Problem dabei, dass die Anzahl der Weckungen in direkter Abhängigkeit zum Münzwurf steht und hier mit dem Erwartungswert zu arbeiten (Kopf/Münze 50/50) und von hier auf die entsprechenden Weckungen zu schließen der Sache nicht gerecht wird.

 

[Hasenauge]

So, hier kommt meine Lösung mit Bitte um Feedback und Korrekturen.



Ereignisraum und Herleitung der subjektiven Wahrscheinlichkeit

Der Ereignisraum des Experiments (K=Kopf; Z=Zahl):

K Mo
Z Mo Di

Wahr ist bei der Betrachtung des Ereignisraums folgende Feststellung:

Erwartungsgemäß findet im Verlauf der Hälfte aller wiederholt durchgeführten Experimente am Mo eine Befragung statt bei der die Münze Kopf anzeigt, d.h.

(1) P(Mo und K) = 1/2

Definiert als Wahrscheinlichkeit, dass im Verlauf eines bestimmten Experiments irgend ein unbestimmter Befragungsszeitpunkt ein Montag ist und die Münze Kopf anzeigt.

Entsprechendes gilt für:

(2) P(Mo und Z) = 1/2

(3) P(Di und Z) = 1/2

Die Ereignisse (2) und (3) schließen sich jedoch nicht gegenseitig in ihrem Eintreten aus, sondern treten immer gemeinsam auf. Denn wenn Ereignis „Mo und Z“ im Verlauf eines Experiments eintritt, dann tritt ganz sicher auch Ereignis „Di und Z“ ein und umgekehrt. In einem sog. Venn-Diagramm wären die Kreise der beiden Ereignisse absolut deckungsgleich und können somit dem Ereignis „Zahl“ insgesamt nur einmal zugeschlagen werden.

Daraus folgt:

(4) P(Z) = P(K) = 1/2

Definiert als Wahrscheinlichkeit, dass die Münze im Verlauf eines bestimmten Experiments zu irgend einem unbestimmten Befragungsszeitpunkt (Mo oder Di) Kopf bzw. Zahl anzeigt.

Oder formuliert als bedingte Wahrscheinlichkeit aus Dornröschens Sicht beim Erwachen:

(5) P(Z/Mo oder Di) = P(K/Mo oder Di) = 1/2

Definiert als Wahrscheinlichkeit, dass am letzten So Zahl bzw. Kopf gefallen ist, wenn heute Mo oder Di ist, wobei

(6) P(Mo oder Di) = 1


Warum beschreibt genau das Dornröschens Wissensstand beim Aufwachen und damit ihre subjektive Wahrscheinlichkeit, dass letzten Sonntag Zahl bzw. Kopf gefallen ist?

1. Weil Dornröschen keine ihrer Befragungen einem bestimmten Befragungszeitpunkt zuordnen kann. Denn sie weiß nicht ob beim Erwachen Montag oder Dienstag ist, sondern nur dass heute entweder Montag oder Dienstag ist.

2. Weil Dornröschen jeden Befragungszeitpunkt einem ganz bestimmten Experiment zuordnen kann. Schließlich erinnert sie sich bei jedem Erwachen an den vergangenen Sonntag. Und zwar nicht an irgend einen vergangenen Sonntag, sondern an einen ganz bestimmten Sonntag. Nämlich an jenen Sonntag, welcher den Beginn eines wohldefinierten Experiments markiert, dessen Ablaufregeln sie kennt und in dessen Verlauf sie nun befragt wird.

3. Daraus folgt, dass sich Dornröschen bei jedem Erwachen im Verlauf eines für sie eindeutig bestimmbaren Experiments zu einem für sie unbestimmten Befragungszeitpunkt wiederfindet, was mit Wahrscheinlichkeitsdefinition (4) übereinstimmt.


Aber warum spielt es überhaupt eine Rolle, dass Dornröschen jeden Befragungszeitpunkt einem bestimmten Experiment zuordnen kann?

Nun, wenn Dornröschen jede ihrer Befragung eindeutig auf ein bestimmtes Experiment beziehen kann, dann kann sie jede Befragung automatisch auch einem bestimmten Münzwurf zuordnen, nämlich dem am letzten Sonntag. Damit ist auch ihr Wissen umfasst, dass sich zwei unterschiedliche, aufeinanderfolgende Befragungszeitpunkte auf ein und denselben Münzwurf beziehen können, und zwar genau dann, wenn bei diesem Münzwurf „Zahl“ gefallen ist.

Was kann Dornröschen nun mit diesem Wissen anfangen wenn sie erwacht?

Nun, zunächst könnte sie wie ein „Drittler“ vorgehen. D.h. sie stellt sich vor das Experiment würde mehrmals wiederholt und notiert was sie beobachten würde wenn sie nachprüft was eine faire Münze zu den aufeinanderfolgenden Befragungszeitpunkten erwartungsgemäß anzeigt:

K Z Z K Z Z K Z Z K Z Z

Dabei würde Dornröschen korrekt feststellen, dass sie zu 2/3 aller Befragungszeitpunkte die Beobachtung machen würde, dass die Münze Zahl anzeigt.

An Punkt bricht der „Drittler“ seine Überlegung ab kommt zu dem Schluss, dass aus Dornröschens Sicht mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 „Zahl“ gefallen ist.

„Aber Moment mal. Ich weiß doch noch mehr“, protestiert Dornröschen.

Und tatsächlich weiß Dornröschen ja, dass sich jeweils zwei aufeinanderfolgende „Zahl“-Beobachtungen immer auf ein und denselben Münzwurf beziehen müssen. Und dass sich somit weit weniger „Zahl“-Münzwürfe ereignen als es ihre „Zahl“-Beobachtungen jemandem Dritten nahelegen würden, der über dieses Wissen nicht verfügt.

Mit diesem Wissen kann Dornröschen die obige Beobachtungszeitreihe in eine Münzwurfzeitreihe transformieren:

Beobachtungszeitreihe: K Z Z K Z Z K Z Z K Z Z —-> Münzwurfzeitreihe: K Z K Z K Z

Jetzt kommt sie zu dem Ergebnis, dass unabhängig davon zu welchem Zeitpunkt sie zwischen zwei Münzwürfen befragt wird, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze beim letzten Wurf auf Zahl gefallen ist, immer 1/2 beträgt.

Ein Zahl-Münzwurf und eine Zahl-Beobachtung sind also ganz offenbar unterschiedliche Ereignisse mit einer jeweils eigenen Häufigkeits- bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der „Drittler“ unter Ausblendung des Wissens um die experimentellen Regeln in unzulässiger Weise gleichsetzt. Erst nutzt er das Wissen zur Vorhersage einer Beobachtungsrzeiteihe. Aber wenn es anschließend darum geht, Schlussfolgerungen aus dieser Beobachtungsreihe zu ziehen, blendet er dabei jenes Wissen, das ihn zu der Beobachtungszeitreihe hingeführt hat wieder aus. Das kann er zwar tun. Aber wenn er das Wissen um die Regeln des Experiments ausblendet, muss er eigentlich konsequenterweise schließen, dass die Münze nicht fair ist, sondern tatsächlich Zahl begünstigt.


Aber welche Wahrscheinlichkeit ist dann mit 2/3 beschrieben?

„Dass die Münze beim Erwachen gerade Zahl anzeigt!“, könnte man meinen.

Aber ganz so einfach ist es nicht, denn es kommt ganz darauf an was man unter „gerade“ versteht. Hier gibt es zwei unterschiedliche Interpretationen und damit zwei mögliche Perspektiven:

Versteht man unter „gerade“ einen bestimmten Erwachungszeitpunkt aus irgend einem beliebigen Experiment, dann stimmt 2/3.

(7) P(Zahl) = 2/3

Definiert als Wahrscheinlichkeit, dass die Münze zu einem bestimmten Befragungszeitpunkt der einem beliebigen Experiment zugehört Zahl anzeigt.

Das klingt kompliziert, bedeutet aber praktisch nichts anderes als das man jedes einzelne Datum (K/Z) der Beobachtungszeitreihe auf einen Zettel schreibt, anschließend alle Zettel in eine Urne gibt und blind zieht.

Versteht man unter „gerade“ jedoch den Befragungszeitraum im Anschluß an einen bestimmten Münzwurf, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze beim Erwachen innerhalb dieses Zeitraums „Zahl“ anzeigt 1/2. Sie entspricht Wahrscheinlichkeitsdefinition (4) und ist wie gezeigt identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass letzten Sonntag „Zahl“ gefallen ist.


Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am letzten Sonntag auf Zahl gefallen ist, ist unabhängig von Befragungszeitpunkt und Perspektive immer 1/2. Dornröschen gewinnt im Verlauf des Experiments keine neuen Informationen, die etwas anderes nahelegen. Im Gegenteil müsste sie bereits bekannte Informationen ausblenden um zum Ergebnis 2/3 zu gelangen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze beim Erwachen „Zahl“ anzeigt, ist je nach Perspektive entweder 1/2 oder 2/3. Die Perspektive, die zum Ergebnis 1/2 führt, bildet Dornröschens Wissen am besten ab. Soll Dornröschen jedoch beim Erwachen die Frage beantworten ob Kopf oder Zahl oben liegt, wird sie häufiger richtig antworten wenn sie die andere Perspektive einnimmt.

 

[Deleted member 1964]

Die Ereignisse (2) und (3) schließen sich jedoch nicht gegenseitig in ihrem Eintreten aus, sondern treten immer gemeinsam auf. Denn wenn Ereignis „Mo und Z“ im Verlauf eines Experiments eintritt, dann tritt ganz sicher auch Ereignis „Di und Z“ ein und umgekehrt. In einem sog. Venn-Diagramm wären die Kreise der beiden Ereignisse absolut deckungsgleich und können somit dem Ereignis „Zahl“ insgesamt nur einmal zugeschlagen werden.

Daraus folgt:

(4) P(Z) = P(K) = 1/2

Ja, genau das war mir irgendwie bewusst, konnte ich mathematisch aber nicht ausdrücken, deshalb habe ich auch gezweifelt ob es (aus der Perspektive) einer Drittelung widerspricht.

Aber welche Wahrscheinlichkeit ist dann mit 2/3 beschrieben?

„Dass die Münze beim Erwachen gerade Zahl anzeigt!“, könnte man meinen.

Aber ganz so einfach ist es nicht, denn es kommt ganz darauf an was man unter „gerade“ versteht. Hier gibt es zwei unterschiedliche Interpretationen und damit zwei mögliche Perspektiven:

Versteht man unter „gerade“ einen bestimmten Erwachungszeitpunkt aus irgend einem beliebigen Experiment, dann stimmt 2/3.

Hier weiß ich nicht ob ich bei dem Gedankengang mit gehe.
Je nachdem was du mit beliebigem Experiment meinst:
1. Man nimmt an es werden mehrere Experimente hintereinander durchgeführt und Dornröschen weiß nicht um welchen Münzwurf es geht.
2. Es werden mehrere Experimente durchgeführt aber Dornröschen weiß bei jeder Weckung auf welchen Münzwurf es sich bezieht.

Fall 1. würde die Spielregeln verändern und ist damit nicht zulässig, aber ich sehe wie man sich dann auf 2/3 versteifen würde.
Bei Fall 2 sehe ich keinen Unterschied zur einzelnen Durchführung. Daher wäre auch hier die Schlussfolgerung 1/2.

Ich vermute, dass deine These sich vor allem auf die Differenzierung zwischen den bestimmten und unbestimmten Befragungszeitpunkten stützt. Der Unterschied leuchtet mir aber ehrlich gesagt nicht ganz ein.
Ich schätze das ergibt sich rein aus der Formulierung?
1. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Münze Zahl anzeigt? (50%)
2. Wie wahrscheinlich ist es, dass du jetzt bei Zahl geweckt wurdest? (2/3?)

Ich frage mich auch ob man das Venn-Diagramm hier aus einer bestimmten Perspektive aufgestellt hat und es anders skizzieren kann, sodass die 2/3 möglich sind.
Z.B. wenn man nach Montag und Dienstag sortiert. Hier befände sich Kopf komplett in Montag. Zahl wäre in Montag genauso groß (50/50 Chance), hätte aber eine gleichgroße Schnittmenge mit Dienstag.
Aber ich kenne mich mit den Diagrammen nicht aus und weiß nicht ob ich hier nicht Regeln breche und es so per Definition schon falsch angehe mit dieser Unterteilung.