Wahrscheinlichkeitsproblem: Dornrößchen

Wie wahrscheinlich ist "Zahl" aus Sicht von Dornrößchen?

  • 1/2

    Stimmen: 6 100,0%
  • 2/3

    Stimmen: 0 0,0%
  • andere Lösung

    Stimmen: 0 0,0%

  • Stimmen insgesamt
    6

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Hallo zusammen,

ich möchte euch ein Wahrscheinlichkeitsproblem präsentieren, dessen korrekte Lösung selbst unter Mathematikern umstritten ist bzw. sie in zwei Lager spaltet.

Es geht um folgendes Experiment.

Dornrößchen wird vom Versuchsleiter (VL) an einem Sonntag in einen tiefen Schlaf versetzt. Bevor sie einschläft wird ihr aber noch folgendes erklärt:

Es würde kurz nachdem sie eingeschlafen ist eine faire Münze geworfen.

Zeigt die Münze "Kopf", dann wird folgendes geschehen: Dornrößchen wird am Montag vom VL aufgeweckt und befragt. Anschließend wird sie wieder in einen tiefen Schlaf versetzt, der ihre Erinnerung an ihre Erweckung und Befragung auslöscht. Am Mittwoch wird sie wieder erweckt und das Experiment ist damit beendet.

Zeigt die Münze "Zahl", dann wird sie ebenfalls am Montag geweckt, befragt und anschließend wieder in einen Tiefschlaf versetzt, der die Erinnerung an den Montag auslöscht. Bevor sie am Mittwoch wieder erweckt wird, wird sie aber nochmal am Di aufgeweckt und befragt und anschließend wieder in Tiefschlaf versetzt, der ihre Erinnerung an den Di auslöscht.

In beiden Szenarien wird Dornrößchen aber nicht informiert, welcher Tag ist wenn sie aufgeweckt und befragt wird. D.h. sie weiß nicht ob es gerade Montag oder Dienstag ist wenn sie befragt wird. Das einzige was sie weiß ist das was ihr am Sonntag vor dem Einschlafen über den Ablauf des Experiments gesagt wurde, also:

Bei Kopf:
Mo Aufweckung + Befragung + Löschung
Mi Aufweckung

Bei Zahl:
Mo Aufweckung + Befragung + Löschung
Di Aufweckung + Befragung + Löschung
Mi Aufweckung

Bei jeder Befragung wird Dornrößchen nur eine einzige Frage gestelllt: "Wie ist aus Deiner Sicht die Wahrscheinlichkeit für "Zahl"?

Was sollte Dornrößchen eurer Meinung nach antworten?
 
Zuletzt bearbeitet:

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Ich versteh nicht wo das Problem liegen soll.:ugly:

Die Wahrscheinlichkeit bei der Münze ist immer 50% und da sie den Tag nicht weiß und ihr Gedächtnis sowieso immer gelöscht wird, ist der Ausgang des Münzwurfs sowohl für sie als auch für das Experiment unerheblich.
Ja, so argumentiert das eine Lager: Da Dornrößchen im Verlauf des Experiments keine neuen relevanten Informationen in Bezug auf den Ausgang des Münzwurfs erhält, müsste ihre subjektive Wahrscheinlichkeit für Zahl wie zu Beginn bei 1/2 liegen.

Es gibt aber noch eine zweite Sichtweise:

Immer wenn Dornrößchen gefragt wird und nicht weiß welcher Tag heute ist, befindet sie sich aus ihrer Sicht in einem von drei möglichen für sie nicht unterscheidbaren Szenarien:

- Montag und Kopf
- Montag und Zahl
- Dienstag und Zahl

Da in zwei der drei Szenarien „Zahl“ gefallen ist, beträgt Dornrößchens Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ folglich nicht 1/2 sondern 2/3.
 

tzer

L01: Freshman
Seit
22 Mai 2013
Beiträge
21
Die Frage ist, was mit „Wie sollte Sie antworten?“ gemeint ist.
Wenn es für jede richtige Antwort einen Euro gibt, hat sie bei Zahl einen Erwartungswert von 1 bei Kopf 0,5.
Wenn es ihr nur darum geht, ob die aktuelle Antwort bei der Frage einmalig richtig ist, ist es egal.
 

Rick187

L12: Crazy
Seit
7 Sep 2011
Beiträge
2.864
Ja, so argumentiert das eine Lager: Da Dornrößchen im Verlauf des Experiments keine neuen relevanten Informationen in Bezug auf den Ausgang des Münzwurfs erhält, müsste ihre subjektive Wahrscheinlichkeit für Zahl wie zu Beginn bei 1/2 liegen.

Es gibt aber noch eine zweite Sichtweise:

Immer wenn Dornrößchen gefragt wird und nicht weiß welcher Tag heute ist, befindet sie sich aus ihrer Sicht in einem von drei möglichen für sie nicht unterscheidbaren Szenarien:

- Montag und Kopf
- Montag und Zahl
- Dienstag und Zahl

Da in zwei der drei Szenarien „Zahl“ gefallen ist, beträgt Dornrößchens Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ folglich nicht 1/2 sondern 2/3.
ganz einfach:

Dornrößchen A sagt immer kopf und macht das experiment ne million mal => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch

Dornrößchen B sagt immer zahl und macht das experiment ne million mal => wenn sie richtig liegt, liegt sie immer an beiden tagen richtig, wenn sie falsch liegt immer an beiden tagen falsch => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch.

beide strategien führen zur gleichen gewinnchance 1/2

q.e.d.
 
Zuletzt bearbeitet:

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Dornrößchen B sagt immer zahl und macht das experiment ne million mal => wenn sie richtig liegt, liegt sie immer an beiden tagen richtig, wenn sie falsch liegt immer an beiden tagen falsch => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch.
Nope. Wenn sie mit Zahl falsch liegt, ist Kopf gefallen und in dem Fall wird sie nur einmal am Montag gefragt. Sie kann mit Zahl also gar nicht an beiden Tagen falsch liegen. ;)
 

WinnieFuu

L14: Freak
Seit
18 Okt 2004
Beiträge
6.042
ganz einfach:

Dornrößchen A sagt immer kopf und macht das experiment ne million mal => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch

Dornrößchen B sagt immer zahl und macht das experiment ne million mal => wenn sie richtig liegt, liegt sie immer an beiden tagen richtig, wenn sie falsch liegt immer an beiden tagen falsch => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch.

beide strategien führen zur gleichen gewinnchance 1/2

q.e.d.
Die Aussagen stimmen beide nicht:
"Dornrößchen A sagt immer kopf und macht das experiment ne million mal => 50% der antworten sind richtig, 50% falsch" Die Verteilung zwischen den Münzwürfen ist 50/50. Allerdings wird Dornrößchen bei Zahl zwei mal befragt und würde beide male falsch liegen, bei Kopf dagegen nur ein mal richtig. Daher liegt sie zu etwa 33 1/3 % richtig, aber zu 66 2/3 % falsch.
Beim zweiten Fall natürlich genau umgekehrt.
Das Problem ist, dass es hier nicht um Gewinnchance geht.
Bei jeder Befragung wird Dornrößchen nur eine einzige Frage gestelllt: "Wie ist aus Deiner Sicht die Wahrscheinlichkeit für "Zahl"?

Was sollte Dornrößchen eurer Meinung nach antworten?
Das ist und bleibt 50/50 und das vollkommen unabhängig von dem ganzen anderen drumherum das vorher passiert ist.
Entweder will Hasenauge uns veralbern oder er hat bei der Formulierung etwas durcheinander gebracht.
 

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Nein, ich will euch nicht veralbern und es ist auch alles korrekt formuliert.
Die Frage beschäftigt Mathematiker und Philosophen schon seit Jahrzehnten und es gibt bereits tausende Fachartikel darüber ohne dass ein Konsens erreicht werden konnte.

Die Gewinnchancen für die beiden Antwortstrategien hat tser oben schon korrekt berechnet. Sie beträgt für Zahl 2/3 und für Kopf 1/3.

Das Problem entsteht, weil man die Gewinnchancen 2/3 bzw. 1/3 auch als Wahrscheinlichkeiten betrachten kann. Und zwar als Wahrscheinlichkeiten dass die Antwort „Zahl“ bzw. „Kopf“ auf die Frage „Was zeigt die Münze?“ wahr ist.
 

WinnieFuu

L14: Freak
Seit
18 Okt 2004
Beiträge
6.042
Das Problem entsteht, weil man die Gewinnchancen 2/3 bzw. 1/3 auch als Wahrscheinlichkeiten betrachten kann. Und zwar als Wahrscheinlichkeiten dass die Antwort „Zahl“ bzw. „Kopf“ auf die Frage „Was zeigt die Münze?“ wahr ist.
Das war aber nicht die Frage, sondern "Wie ist aus Deiner Sicht die Wahrscheinlichkeit für "Zahl"?"
:coolface:
 

Sierra

Moderator
Mitarbeiter
Moderator
Seit
4 Apr 2014
Beiträge
11.626
Xbox Live
Coven Mistress
PSN
CovenMistress
Switch
1753 46126320
Steam
CovenMistress
Ich verstehe, was du damit meinst. Vielleicht ist das Ganze verständlicher, wenn die Frage lauten würde: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist am Sonntag Zahl geworfen worden?"
Dann wäre die Antwort 2/3.
Die Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Zahl geworfen" oder "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl?" kann nur mit "50%" beantwortet werden :nix:
 

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Das war aber nicht die Frage, sondern "Wie ist aus Deiner Sicht die Wahrscheinlichkeit für "Zahl"?"
:coolface:
Ein „Drittler“ würde jetzt einwenden, dass er nicht erkennen kann warum das nun einen Unterschied macht. Tip „Zahl“ ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 richtig, also ist Dornröschens Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ 2/3 und nicht 1/2.
Ich verstehe, was du damit meinst. Vielleicht ist das Ganze verständlicher, wenn die Frage lauten würde: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist am Sonntag Zahl geworfen worden?"
Dann wäre die Antwort 2/3.
Hm, 2/3 für Zahl bei einer fairen Münze? Schwer vorstellbar..
 

Sierra

Moderator
Mitarbeiter
Moderator
Seit
4 Apr 2014
Beiträge
11.626
Xbox Live
Coven Mistress
PSN
CovenMistress
Switch
1753 46126320
Steam
CovenMistress
Ein „Drittler“ würde jetzt einwenden, dass er nicht erkennen kann warum das nun einen Unterschied macht. Tip „Zahl“ ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 richtig, also ist Dornröschens Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ 2/3 und nicht 1/2.

Hm, 2/3 für Zahl bei einer fairen Münze? Schwer vorstellbar..
Du darfst dabei aber nicht die Wahrscheinlichkeit auf die Münze beziehen. Genau das ist die Krux an der Sache.

Das gleiche wäre, wenn ich ein Free For All in Modern Warfare mit 10 Spielern spiele und jemand fragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich dabei Erster werde. Meine Troll-Antwort wäre: "50%. Entweder werde ich es oder nicht."

Wenn alle Mathematiker auch Linguisten wären, könnte man sicher 50% aller vorhandenen Probleme sofort in Luft auflösen. Oder 2/3 davon :coolface:
 

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Du darfst dabei aber nicht die Wahrscheinlichkeit auf die Münze beziehen. Genau das ist die Krux an der Sache.
Du hast nach der Wahrscheinlichkeit des Ausgangs des Münzwurfs gefragt.
Das gleiche wäre, wenn ich ein Free For All in Modern Warfare mit 10 Spielern spiele und jemand fragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich dabei Erster werde. Meine Troll-Antwort wäre: "50%. Entweder werde ich es oder nicht."
Nein, das wäre nicht dasselbe, sondern eine Verletzung sog. des Indifferenzprinzips der Wahrscheinlichkeitstheorie. So als würdest Du bei einem Würfel behaupten, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 sei 1/2 und nicht 1/6.

Wenn alle Mathematiker auch Linguisten wären, könnte man sicher 50% aller vorhandenen Probleme sofort in Luft auflösen. Oder 2/3 davon :coolface:
DAS wiederum denke ich in Bezug auf das Dornröschenproblem allerdings auch. ;)
 

tzer

L01: Freshman
Seit
22 Mai 2013
Beiträge
21
Edit: Frage in der Umfrage übersehen.

Es gibt aber über viele Probleme wissenschaftliche Abhandlungen, obwohl sie recht klar sind. Einfach weil man die Lösung nicht verstehen kann oder besser will.
 
Zuletzt bearbeitet:

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Für mich dreht sich das solange im Kreis, bis jemand eine klare Frage stellt, die auch mathematisch klar formuliert werden kann.
Fair point.

Also, mit welcher subjektiven Wahrscheinlichkeit für Dornröschen ist die Münze auf „Zahl“ gefallen wenn sie aufgeweckt und genau danach gefragt wird?
 

tzer

L01: Freshman
Seit
22 Mai 2013
Beiträge
21
Subjektive Wahrscheinlichkeit.

Mathematisch etwas vereinfacht: Berechnung über die Erwartungswerte
X: Anzahl Tage, an denen sie aufgeweckt wird , E(X) = 0,5 Durchschnittliche Anzahl Tage
Y: Anzahl Tage, an denen sie geweckt wird und Zahl geworfen wurde.
E(Y)=1

Im Schnitt gibt es pro Durchgang einen Tag, an dem Zahl richtig ist, und einen halben, an dem Kopf stimmt. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit mM. 2/3.
 

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Subjektive Wahrscheinlichkeit.

Mathematisch etwas vereinfacht: Berechnung über die Erwartungswerte
X: Anzahl Tage, an denen sie aufgeweckt wird , E(X) = 0,5 Durchschnittliche Anzahl Tage
Y: Anzahl Tage, an denen sie geweckt wird und Zahl geworfen wurde.
E(Y)=1

Im Schnitt gibt es pro Durchgang einen Tag, an dem Zahl richtig ist, und einen halben, an dem Kopf stimmt. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit mM. 2/3.
Ok, ich halte mal dagegen.

Angenommen Dornröschen wird bei Zahl nicht zweimal, sondern 1000.000.000 mal aufgeweckt und befragt. Sollte sie dann mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausschließen, dass die Münze auf Kopf gefallen ist?
 

tzer

L01: Freshman
Seit
22 Mai 2013
Beiträge
21
Wenn sie mit jeder richtigen Antwort einen Euro bekommt, dann schon.
Bei einer Frage um Leben und Tod wärs hingegen egal.
 

Sierra

Moderator
Mitarbeiter
Moderator
Seit
4 Apr 2014
Beiträge
11.626
Xbox Live
Coven Mistress
PSN
CovenMistress
Switch
1753 46126320
Steam
CovenMistress
Ok, ich halte mal dagegen.

Angenommen Dornröschen wird bei Zahl nicht zweimal, sondern 1000.000.000 mal aufgeweckt und befragt. Sollte sie dann mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausschließen, dass die Münze auf Kopf gefallen ist?
Nein, nein, nein... so geht das nicht...
Da müsste sie auch mit 50% antworten. Die Antwort auf die Frage nach der Auswirkung des Münzwurfes ist etwas ganz anderes. Auch wenn Ergebnis und Auswirkung des Münzwurfes in Abhängigkeit zueinander stehen.
 

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
Wenn sie mit jeder richtigen Antwort einen Euro bekommt, dann schon.
Bei einer Frage um Leben und Tod wärs hingegen egal.
Hm, also wäre ich der Versuchleiter, würde sie immer einen Euro für die Antwort „1/2“ bekommen. Denn das ist mE die einzig richtige Antwort auf obige Frage.
 

tzer

L01: Freshman
Seit
22 Mai 2013
Beiträge
21
@Hasenauge

Der Unterschied bei deinem Beispiel ist der:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl geworfen wird ist 0,5.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl geworfen wurde, wenn sie aufwacht, ist jedoch größer.
Wenn sie das erste Mal aufwacht ist es 50:50 sie 1/3.
Wenn sie das zweite Mal aufwacht liegt sie aber bei 100% (, beim dritten mal auch,..).
Die Wahrscheinlichkeit, dass es das erste Mal ist also Mo, wenn sie aufwacht liegt bei 2/3 3/4 Wahrscheinlichkeit, dass es Di ist liegt bei 1/3 1/4.
Deshalb ist Zahl beim Aufwachen besser.
 
Zuletzt bearbeitet:

Hasenauge

L15: Wise
Thread-Ersteller
Seit
9 Dez 2009
Beiträge
8.931
„Zahl“ ist besser als Antwort auf die Frage „Was zeigt die Münze an?“

„1/2“ ist besser als Antwort auf die Frage „Wie ist Dornröschens subjektive Wahrscheinlichkeit, dass am So Zahl gefallen ist?“

;)
 
Top Bottom